Question

2．在四邊形ABCD中，∠C=90°，∠ABC=∠ADB，BD平分∠ABC，AD：AB=$\sqrt{13}$：6，DC=1，則DB=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 過點D作DF∥BC交AB于F，過F作FG⊥BD與點G，先證明△BFD是等腰三角形，從而得到BG=DG，然后證明∠ADF=∠ABD，從而可證明△AFD∽△ADB，從而可得到$\frac{DF}{BD}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{13}}{6}$，故此可知$\frac{DF}{GD}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，從而可求得$\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，最后根據(jù)sin∠DBC=sin∠FDB求解即可．

解答 解：過點D作DF∥BC交AB于F，過F作FG⊥BD與點G．

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}∠$ABC．
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBC．
∴∠FBD=∠FDB=$\frac{1}{2}∠ABC$．
∴DF=FB．
又∵FG⊥BD，
∴BG=GD=$\frac{1}{2}$BD．
∵∠FBD=$\frac{1}{2}∠ABC$，∠ADB=∠ABC，
∴∠FDB=$\frac{1}{2}$∠ADB．
∴∠ADF=∠ABD．
又∵∠A=∠A，
∴△AFD∽△ADB．
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{13}}{6}$．
∴$\frac{DF}{GD}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$．
∴$\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∵∠DBC=∠FDB，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴$\frac{BD}{1}=\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴BD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質和判定、解直角三角形、銳角三角函數(shù)的定義，求得$\frac{FD}{FG}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$是解題的關鍵．