Question

14．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H，BC=4$\sqrt{3}$，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AD的長，∠ABG=∠HBD=30°，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△MEH的形狀，根據(jù)直角三角形的判定，可得△FIN的形狀，根據(jù)面積的和差，可得答案．

解答 解：如圖所示：
，
由△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點(diǎn)H，BC=4$\sqrt{3}$，得
AD=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．
由直角三角的性質(zhì)，得∠BHD=90°-∠HBD=60°．
由對頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60°
由BG=2，得EG=BE-BG=6-2=4．
由GE為邊作等邊三角形GEF，得
FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，
△MHE是等邊三角形；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AC×EH×3
EH=$\frac{1}{3}$BE=$\frac{1}{3}$×6=2．
由三角形外角的性質(zhì)，得∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，
由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，
由線段的和差，得IF=FG-IG=4-2=2，
由對頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，
由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，
由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=$\sqrt{3}$．
S_{五邊形NIGHM}=S_△EFG-S_△EMH-S_△FIN
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，利用圖形的割補(bǔ)法是求面積的關(guān)鍵．