Question

2．一次函數(shù)y=-x+4圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，點P為正比例函數(shù)y=kx（k＞0）圖象上一動點，且滿足∠PBO=∠POA，則AP的最小值為2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 先依據(jù)條件∠PBO=∠POA，得到點P的運動軌跡為y軸右側(cè)以BO為直徑的半圓，再根據(jù)AP+CP≥AC，可得當點C、P、A三點共線時，AP有最小值，最后根據(jù)AP=AC-CP進行計算即可得到AP的最小值．

解答 解：如圖所示，∵∠POA+∠POB=90°，∠PBO=∠POA，
∴∠PBO+∠POB=90°，
∴∠BPO=90°，即BP垂直于直線y=kx（k＞0），
∴點P的運動軌跡為y軸右側(cè)以BO為直徑的半圓，
∵一次函數(shù)y=-x+4圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴圓心C（0，2），
即AO=4，CO=2，
連接CP，AC，則CP=CO=2，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AP+CP≥AC，
∴當點C、P、A三點共線時，AP有最小值，
此時，AP=AC-CP=2$\sqrt{5}$-2，
故答案為：2$\sqrt{5}$-2．

點評 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解決問題的關鍵是判斷點P的運動軌跡為y軸右側(cè)以BO為直徑的半圓，依據(jù)兩點之間，線段最短進行求解．