Question

19．如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn) A、B、C．其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），
（1）畫出△ABC的外心D（保留畫圖痕跡）
（2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：C（6，2）、D（2，0）；
（3）外接圓⊙D的半徑=2$\sqrt{5}$；
（4）若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面半徑為$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（5）若E（7，0），試判斷直線EC與⊙D的位置關(guān)系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后作出弦AB的垂直平分線，以及BC的垂直平分線，兩直線的交點(diǎn)即為圓心D，連接AD，CD；
（2）根據(jù)第一問畫出的圖形即可得出C及D的坐標(biāo)；
（3）在直角三角形AOD中，由OA及OD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，即為圓O的半徑；
（4）設(shè)該圓錐的底面半徑，根據(jù)地面周長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)即可得出r的值；
（5）直線CE與圓O的位置關(guān)系是相切，理由為：由圓的半徑得出DC的長(zhǎng)，在直角三角形CEF中，由CF及FE的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，再由DE的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE為直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直線CE為圓O的切線

解答 解：（1）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

（2）根據(jù)圖形得：C（6，2），D（2，0）．
故答案為：（6，2），（2，0）；

（3）在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根據(jù)勾股定理得：AD=$\sqrt{{OA}^{2}+{OD}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
則⊙D的半徑為2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$；

（4）由題意可得出：∠ADC=90°，設(shè)該圓錐的底面半徑r，
∵扇形DAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，
則該圓錐的底面周長(zhǎng)為：$\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π，
∴2πr=$\sqrt{5}$π，解得r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（5）直線EC與⊙D的位置關(guān)系為相切，理由為：
在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，
根據(jù)勾股定理得：CE=$\sqrt{{CF}^{2}+{EF}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在△CDE中，CD=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，DE=5，
∵CE²+CD²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=5+20=25，DE²=25，
∴CE²+CD²=DE²，
∴△CDE為直角三角形，即∠DCE=90°，
∴CE⊥DC，則CE與圓D相切．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是圓的綜合題，涉及到勾股定理以及切線的性質(zhì)和扇形弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練利用切線的性質(zhì)定理和勾股定理得出是解題關(guān)鍵．