Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、BC上，EF與BD交于G，且∠DEF=60°．
（1）求證：△ADE∽△BEG；
（2）已知AD=3，AE=2，求sin∠BEF的值（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由菱形ABCD，∠A=60°，得出∠ABC=120°，再由BD平分∠ABC，得出∠EBG=60°=∠A，由∠DEB=∠A+∠ADE，得出∠ADE=∠BEG，證出△ADE∽△BEG；
（2）作EH⊥AD于H，由△ADE∽△BEG，得出∠BEF=∠ADE，求出sin∠ADE即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，
∴∠EBG=60°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE，∠DEF=60°，
∴∠ADE=∠BEG，
∴△ADE∽△BEG；
（2）解：作EH⊥AD于H，如圖所示：
則∠AEH=90°-60°=30°，
∴AH=

1

2

AE=1，
∴EH=

3

，
∵AD=AB=2+1=3，
∴DH=2，
在Rt△DEH中，根據(jù)勾股定理得，DE=

22+( 3 )2

=

7

，
由（1）得，∠BEF=∠ADE，
∴sin∠BEF=sin∠ADE=

3

7

=

21

7

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的運用，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．