Question

拋物線y=

1

3

x²+bx-1與x軸交于A，B，與y軸交于C，且OA=OC
（1）求A，B的坐標(biāo)；
（2）D到A，B，C距離相等，在拋物線上求點(diǎn)P，使P，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）根據(jù)題意求得OA=OC=1，從而求得A的坐標(biāo)（-1，0），C（0，-1），把A的坐標(biāo)代入y=

1

3

x²+bx-1求得b，求得解析式，令y=0，解方程即可求得B的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意得出D的坐標(biāo)，根據(jù)B、C、D的坐標(biāo)即可求得使P，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形的P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

3

x²+bx-1與x軸交于A，B，與y軸交于C，且OA=OC，
∴OA=OC=1，
∴A的坐標(biāo)（-1，0），C（0，-1），
代入y=

1

3

x²+bx-1得0=

1

3

×1-b-1，解得，b=-

2

3

，
∴拋物線為y=

1

3

x²-

2

3

x-1，
令y=0，則

1

3

x²-

2

3

x-1=0，解得，x₁=-1，x₂=3，
∴B的坐標(biāo)為（3，0）．
（2）如圖，∵D到A，B，C距離相等，
∴D是直線y=x和x=1的交點(diǎn)，
∴D（1，1），
∵使P，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，B（3，0），C（0，-1），
∴P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0）．

∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（4，2）或（2，-2）或（-2，0）時，使P，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線和x軸的交點(diǎn)以及待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的判定，熟練掌握待定系數(shù)法和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．