Question

15．如圖，菱形OABC的頂點A的坐標為（2，0），∠COA=60°，將菱形OABC繞坐標原點O逆時針旋轉120°得到菱形ODEF．
（1）直接寫出點F的坐標；
（2）求線段OB的長及圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由菱形OABC的頂點A的坐標為（2，0），可求得OA=2，又由將菱形OABC繞坐標原點O逆時針旋轉120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，可得點F在x軸的負半軸上，且OF=2，繼而求得點F的坐標；
（2）首先過點B作BG⊥x軸于點G，連接OE，OB，可求得∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，繼而求得線段BG的長，則可求得扇形EOB與菱形OABC的面積，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵菱形OABC的頂點A的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∵將菱形OABC繞坐標原點O逆時針旋轉120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，
∴∠AOF=180°，OF=2，
即點F在x軸的負半軸上，
∴點F（-2，0）；

（2）過點B作BG⊥x軸于點G，連接OE，OB，
則∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，
∴∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°，
∴AG=$\frac{1}{2}$AB=1，BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OB=2BG=2$\sqrt{3}$，
∵∠BOE=120°，
∴S_扇形=$\frac{120×π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=4π，S_菱形OABC=OA•BG=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形-S_菱形OABC=4π-2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了菱形的性質、旋轉的性質以及扇形的面積．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．