Question

10．已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B），把△AOP沿OP對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在⊙O上．
①當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；
②當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)（如圖2），①中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；
③當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖3），過C點(diǎn)作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，求證：AB=4PD．

Answer 1

分析 （1）PO與BC的位置關(guān)系是平行；由同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可怎么PO∥BC；
（2）（1）中的結(jié)論成立，理由為：由折疊可知三角形APO與三角形CPO全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等邊對(duì)等角得到∠A=∠APO，等量代換可得出∠A=∠CPO，又根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代換可得出∠CPO=∠PCB，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可得出PO與BC平行；
（3）由CD為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行得到OC與AD平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠APO=∠COP，再利用折疊的性質(zhì)得到∠AOP=∠COP，等量代換可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等邊對(duì)等角可得出一對(duì)角相等，等量代換可得出三角形AOP三內(nèi)角相等，確定出三角形AOP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角為60°得到∠AOP為60°，由OP平行于BC，利用兩直線平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC為等邊三角形，可得出∠COB為60°，利用平角的定義得到∠POC也為60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC為等邊三角形，得到內(nèi)角∠OCP為60°，可求出∠PCD為30°，在直角三角形PCD中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出PD為PC的一半，而PC等于圓的半徑OP等于直徑AB的一半，可得出PD為AB的四分之一，即AB=4PD，得證

解答 解：（1）PO與BC的位置關(guān)系是PO∥BC；理由如下：
∵∠CPO對(duì)著劣弧$\widehat{BC}$，∠PCB對(duì)著優(yōu)弧$\widehat{PAB}$，$\widehat{BC}$和$\widehat{PAB}$之和恰為圓周弧，
∴∠CPO+∠PCB=180°，
∴PO∥BC；
（2）（1）中的結(jié)論P(yáng)O∥BC成立，理由為：
由折疊可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A與∠PCB都為$\widehat{PB}$所對(duì)的圓周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC；

（3）∵CD為圓O的切線，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由折疊可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO為等邊三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO為等邊三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，
∴△POC也為等邊三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=$\frac{1}{2}$PC，
又∵PC=OP=$\frac{1}{2}$AB，
∴PD=$\frac{1}{2}$AB，即AB=4PD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．