Question

5．已知，如圖坐標(biāo)平面內(nèi)，A（-2，0），B（0，-4），AB⊥AC，AB=AC，△ABC經(jīng)過平移后，得△A′B′C′，B點的對應(yīng)點B′（6，0），A，C對應(yīng)點分別為A′，C′．
（1）求C點坐標(biāo)；
（2）直接寫出A′，C′坐標(biāo)，并在圖（2）中畫出△A′B′C′；
（3）P為y軸負(fù)半軸一動點，以A′P為直角邊以A’為直角頂點，在A′P右側(cè)作等腰直角三角形A′PD．①試證明點D一定在x軸上；②若OP=3，求D點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點的坐標(biāo)得出AO=2，BO=4，作CH⊥x軸于H，證出∠ACH=∠BAO，由AAS證明△ACH≌△BAO，得出AH=BO=4，CH=AO=2，求出OH=AO+AH=6，即可得出點C的坐標(biāo)；C（-6，-2）；
（2）由B（0，-4）和B′（6，0），得出△ABC向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度得△A′B′C′，即可得出A′，C′坐標(biāo)，畫出圖形即可；
（3）①連B′D，延長DB′交PC′于E，交A′P于F，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，證出∠PA′C′=∠DA′B′，由SAS證明△A′DB′≌△A′PC′，得出∠A′DB′=∠A′PC′，由三角形內(nèi)角和得出∠PEF=∠PA′D=90°，得出DB′⊥y軸，即可得出D點在x軸上；
②由全等三角形的性質(zhì)得出B′D=C′P=5，得出OD=11，即可得出答案．

解答 解：（1）∵A（-2，0），B（0，-4），
∴AO=2，BO=4，
作CH⊥x軸于H，如圖1所示：
則∠CHA=90°=∠AOB，
∴∠ACH+∠CAH=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
∴∠ACH=∠BAO，
在△ACH和△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CHA=∠AOB}&{\;}\\{∠ACH=∠BAO}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BAO（AAS），
∴AH=BO=4，CH=AO=2，
∴OH=AO+AH=6，
∴C（-6，-2）；
（2）∵B（0，-4），B′（6，0），
∴△ABC向上平移4個單位長度，再向右平移6個單位長度，
∴A′（4，4），C′（0，2）；
（3）①連B′D，延長DB′交PC′于E，交A′P于F，如圖3所示：
∵△A′B′C′和△A′PD是等腰直角三角形，
∴A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，
∴∠PA′C′=∠DA′B′，
在：△A′DB′和△A′PC′中，$\left\{\begin{array}{l}{A′D=A′P}&{\;}\\{∠B′A′D=∠PA′C′}&{\;}\\{A′B′=A′C′}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△A′DB′≌△A′PC′（SAS），
∴∠A′DB′=∠A′PC′，
∵∠PFE=∠A′FD，
∴∠PEF=∠PA′D=90°，
∴DB′⊥y軸，
∴D點在x軸上；
②∵△A′DB′≌△A′PC′得，
∴B′D=C′P=5，
∴OD=11，
∴D（11，0）．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．