Question

8．在△ABC中，BC=AC，∠C=90°，點D為直線BC上一點，DE⊥AB于點E，線段CD的垂直平分線交直線AB于點F，交CD于點G．
（1）如圖1，若點D在線段CB上，求證：EF=$\frac{1}{2}$AB；
（2）如圖2，若點D為CB延長線上一點，（1）中結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立．說明理由；
（3）在（2）的條件下，若DE=8，AF•BF=28，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過點D作DH垂直BD，交AB于H點．構建相似三角形△BDH∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)推知△BDH是等腰直角三角形，結合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和梯形中位線定理證得結論即可；
（2）如圖2，取AB的中點M，連接CM，則由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到CM=$\frac{1}{2}$AB．通過作該輔助線構建全等三角形△FCM≌△DFE，由該全等三角形的對應邊相等證得EF=CM，則EF=$\frac{1}{2}$AB；
（3）如圖2，設AB=x（x＞0）．利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和（2）中全等三角形的性質(zhì)得到：FM=DE=8，AF=AM+MF=$\frac{1}{2}$x+8，BF=MF-BM=8-$\frac{1}{2}$x，結合已知條件AF•BF=28列出關于x的方程（$\frac{1}{2}$x+8）（8-$\frac{1}{2}$x）=28，通過解方程可以求得答案．

解答 （1）證明：過點D作DH垂直BD，交AB于點H．
∵∠C=90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{DH}{AC}$，
又∵BC=AC，
∴BD=DH．
∵DE⊥BH，
∴EH=$\frac{1}{2}$BH．
∵GF⊥CD，G是CD中點，
∴GF∥AC，且GF是梯形ACDH的中位線，
∴AF=FH，
∴FH=$\frac{1}{2}$AH，
EF=EH+FH=$\frac{1}{2}$BH+$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$AB，即：EF=$\frac{1}{2}$AB．

（2）（1）中的結論成立．理由如下：
如圖2，取AB的中點M，連接CM，則CM=$\frac{1}{2}$AB，CM⊥AB．
∵線段CD的垂直平分線交直線AB于點F，
∴CF=DF，
∴∠FCD=∠FDC．
∵∠FCM=45°+∠FCD，∠EFD=45°+∠CDF，
∴∠FCM=∠EFD．
∵在△FCM與△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMF=∠FED=90°}\\{FCM=∠DEF}\\{CF=FD}\end{array}\right.$，
∴△FCM≌△DFE（AAS），
∴EF=CM，則EF=$\frac{1}{2}$AB；

（3）如圖2，由（2）知，△FCM≌△DFE，則FM=DE=8，
設AB=x（x＞0）．
易得AM=BM=CM=EF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$x，
則AF=AM+MF=$\frac{1}{2}$x+8，BF=MF-BM=8-$\frac{1}{2}$x，
∵AF•BF=28，
∴（$\frac{1}{2}$x+8）（8-$\frac{1}{2}$x）=28，
解得x=12，即AB=12．

點評 本題考查了相似綜合題．解題過程中，綜合運用了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，通過作出輔助線構造相似三角形、全等三角形是解題的難點與關鍵點，題目稍有難度．