Question

3．把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF．
（1）問四邊形DEBF是什么特殊四邊形？說明理由．
（2）若AB=12cm，BC=18cm，求重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）證得DE=DF，得四邊形BFDE是平行四邊形，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BF=DF，得四邊形BFDE是菱形；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：AE=A′E，AB=A′D；可設(shè)AE為x，用x表示出A′E和DE的長，進(jìn)而在Rt△A′DE中求出x的值，即可得到A′E的長，即可得到AE和DE長，再利用三角形的面積公式可得答案．

解答 解：（1）四邊形DEBF是菱形，
連接BE，由折疊的性質(zhì)可得∠BFE=∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠DFE=∠DEF，
∴DE=DF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
由折疊知，BF=DF．
∴四邊形BFDE是菱形；
（2）設(shè)AE=A′E=xcm，則DE=18-x；
在Rt△A′ED中，A′E=xcm，A′D=AB=12cm，ED=AD-AE=（18-x）cm；
由勾股定理得：x²+144=（18-x）²，
解得x=5；
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×DC=$\frac{1}{2}$（18-5）×12=78（cm²）．

點(diǎn)評 本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的判定、菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作好輔助線找到相關(guān)的三角形．