Question

20．解方程：
（1）$\frac{3x-1}{{x}^{2}-1}$+1=$\frac{1}{x-1}$；
（2）$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2．

Answer 1

分析 （1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論，據(jù)此解答即可；
（2）首先應(yīng)用乘方法，求出$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解有哪些；然后驗(yàn)根，判斷出$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解是多少即可．

解答 解：（1）∵$\frac{3x-1}{{x}^{2}-1}$+1=$\frac{1}{x-1}$，
∴（3x-1）+（x²-1）=x+1，
整理，可得
x²+2x-3=0，
解得x=-3或x=1，
①當(dāng)x=-3時(shí)，
左邊=$\frac{3×（-3）-1}{{（-3）}^{2}-1}+1=-\frac{1}{4}$，
右邊=$\frac{1}{-3-1}=-\frac{1}{4}$，
因?yàn)樽筮?右邊，
所以x=-3是方程的解；
②當(dāng)x=1時(shí)，
1-1=0，即分母為0，
所以x=1不是方程的解；
綜上，可得方程$\frac{3x-1}{{x}^{2}-1}$+1=$\frac{1}{x-1}$的解是x=-3．

（2）∵$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2，
∴$\sqrt{x+2}$=2$+\sqrt{8-x}$，
${∴（\sqrt{x+2}）}^{2}$=${（2+\sqrt{8-x}）}^{2}$，
即x+2=12-x+4$\sqrt{8-x}$，
整理，可得2$\sqrt{8-x}$=x-5，
∴${（2\sqrt{8-x}）}^{2}$=（x-5）²，
整理，可得x²-6x-7=0，
解得x=7或x=-1，
①把x=7代入原方程，可得
左邊=$\sqrt{7+2}-\sqrt{8-7}=3-1=2$，
右邊=2，
因?yàn)樽筮?右邊，
所以x=7是方程$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解．
②把x=-1代入原方程，可得
左邊=$\sqrt{-1+2}-\sqrt{8-（-1）}=1-3=-2$，
右邊=2，
因?yàn)樽筮叀儆疫叄?br />所以x=-1是方程$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解．
綜上，可得方程$\sqrt{x+2}$-$\sqrt{8-x}$=2的解是x=7．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了分式方程的求解，解答此題的關(guān)鍵是要明確解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．
（2）此題還考查了無理方程的求解，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①解無理方程常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．②用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號(hào)）來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．