Question

已知，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD邊上，且CF=

1

4

CD．求∠EAF的正弦值和正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，再根據(jù)已知條件得出

FC

EC

=

BE

AB

=

1

2

，能證明△ECF∽△ABE；根據(jù)△ECF∽△ABE，則∠FEC=∠BAE，且

EF

AE

=

EC

AB

=

BE

AB

，再證明△AEF∽△ABE，則∠EAF=∠BAE，即可求得∠EAF的正弦值和正切值．

解答：解答：證明：由正方形ABCD得AB=BC=CD，∠B=∠C=90°，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=EC=

1

2

AB，
∵FC=

1

4

CD，
∴FC=

1

4

AB，
∴

FC

EC

=

BE

AB

=

1

2

，
在△ECF和△ABE中，
∵

FC

EC

=

BE

AB

且∠B=∠C
∴△ECF∽△ABE，
∴∠FEC=∠BAE，且

EF

AE

=

EC

AB

=

BE

AB

，
在△ABE中，∵∠B=90°，
∴∠BEA+∠BAE=90°∴∠FEC+∠BEA=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠B
又∵

EF

AE

=

BE

AB

，
，∴△AEF∽△ABE，
∴∠EAF=∠BAE，
∵AB²+BE²=AE²，
∴（2BE）²+BE²=AE²，
∴AE=

5

BE，
∴sin∠EAF=sin∠BAE=

BE

AE

=

BE

5 BE

=

5

5

，tan∠EAF=tan∠BAE=

BE

AB

=

1

2

，
即sin∠EAF=

5

5

，tan∠EAF=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是綜合題難度偏大．