Question

13．如圖，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經(jīng)過（1，0），B（0，-6）兩點，
（1）求這個二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象，寫出函數(shù)值y為負數(shù)時，自變量x的取值范圍；
（4）填空：要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)該把圖象沿y軸向下平移$\frac{121}{8}$個單位．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，將（1，0）、B（0，-6）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bc+c即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)解析式，求出C點坐標，再利用三角形面積公式即可求出△ABC的面積；
（3）根據(jù)拋物線與x軸的交點坐標，即可得出x的取值范圍；
（4）求出拋物線的頂點縱坐標，即可根據(jù)平移知識得出答案．

解答 解：（1）把（1，0）、B（0，-6）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}+b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{13}{2}}\\{c=-6}\end{array}\right.$．
故這個二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{13}{2}$x-6；

（2）∵該拋物線對稱軸為直線x=-$\frac{\frac{13}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{13}{2}$，
∴點C的坐標為（12，0），
∴AC=OC-OA=12-1=11，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×OB=$\frac{1}{2}$×11×6=33；

（3）由圖可知，函數(shù)值y為負數(shù)時，自變量x的取值范圍為x＜1或x＞12．

（4）將（2）中所求x=$\frac{13}{2}$代入解析式，即可得頂點縱坐標為-$\frac{1}{2}$×（$\frac{13}{2}$）²+$\frac{13}{2}$×$\frac{13}{2}$-6=$\frac{121}{8}$，
可見把圖象沿y軸向下平移$\frac{121}{8}$個單位，則該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點．
故答案為：$\frac{121}{8}$．

點評 此題綜合性較強，考查了拋物線與x軸的交點、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象與幾何變換等知識，解答時要理清思路，并注意計算的正確性．