Question

18．在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3，1），B（$\frac{5}{3}，\frac{17}{3}$），若拋物線y=x²+2mx+m²+$\frac{1}{3}$m與線段AB只有1個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是-$\frac{13}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求得線段AB的解析式，然后聯(lián)立方程求得x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4=0，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸的關(guān)系，令y′=x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4，結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解即可．

解答 解：根據(jù)題意：線段AB：y=x+4（-3≤x≤$\frac{5}{3}$），
與y=x²+2mx+m²+$\frac{1}{3}$m聯(lián)立得：
x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4=0，
令y′=x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4，
若拋物線y=x²+（2m-1）x+m²+$\frac{1}{3}$m-4與線段AB只有1個(gè)公共點(diǎn)，
即函數(shù)y′在-3≤x≤$\frac{5}{3}$范圍內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)x=-3時(shí)，y′=m²+$\frac{19}{3}$m+2＜0，
∵△＞0，
∴此種情況不存在，
當(dāng)x=$\frac{5}{3}$時(shí)，y′=m²+$\frac{11}{3}$m-$\frac{26}{9}$＜0，
解得-$\frac{13}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$
故答案為-$\frac{13}{3}$＜m＜$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．