Question

19．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．
（2）問(wèn)題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF．請(qǐng)判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可；
（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．

解答 解：（1）解：延長(zhǎng)AD到E，使AD=DE，連接BE，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△ADC與△EDB中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠ADC=∠BDE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，
∴4＜AE＜16，
∵AE=2AD
∴2＜AD＜8，
即：BC邊上的中線AD的取值范圍2＜AD＜8；

（2）BE+CF＞EF．
理由：如圖②，

過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交FD的延長(zhǎng)線于G，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥DF，
∴EG=EF（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出4＜2AD＜16是解（1）的關(guān)鍵，判斷出△BGD≌△CFD是解（2）的關(guān)鍵，解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．