Question

20．如圖，以A為頂點(diǎn)的拋物線與y軸交于點(diǎn)B，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）將y軸向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，寫(xiě)出此時(shí)拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使AB=AP？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式：y=a（x-3）²，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入進(jìn)行求值即可；
（2）根據(jù)題意求得平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫(xiě)出平移后拋物線的解析式；
（3）設(shè)P（x、y）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于y的方程，通過(guò)解方程求得y的值，進(jìn)而由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-3）²，（a≠0），
把點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，4）代入，得
4=a（0-3）²，
解得a=$\frac{4}{9}$．
所以該拋物線的解析式為：y=$\frac{4}{9}$（x-3）²；

（2）將y軸向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
則平移后拋物線的解析式為：y=$\frac{4}{9}$（x+3）²；

（3）設(shè)P（x、y），
∵AB=AP，A（3，0）、B（0，4），
∴AB²=AP²，即3²+4²=（x-3）²+y²，
∴25=$\frac{9}{4}$y+y²，即（y-4）（4y+25）=0，
解得y=4或y=-$\frac{25}{4}$（舍去），
則4=$\frac{4}{9}$（x-3）²，
解得x=6或x=0（舍去）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象的幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．解答（3）題時(shí)，也可以利用拋物線的對(duì)稱性直接得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，然后由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征來(lái)求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．