Question

14．如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為1，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC上的動點，且AD=BE=CF．若AD=x，△DEF的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．
（2）求△DEF的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）過F作AB的垂線，垂足為H，求得FH，得出△ADF的面積，利用△ABC的面積減去△ADF的面積的3倍得出△DEF的面積y即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的最值公式，即可求出當x為何值時，△DEF的面積的最小值．

解答 解：（1）如圖，

過F作AB的垂線，垂足為H，
∵∠A=60°，
∴FH=AF×sin60°=（1-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ADF的面積為-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$x
∴△DEF的面積y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（2）∵y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴當x=-$\frac{-\frac{3\sqrt{3}}{4}}{2×\frac{3\sqrt{3}}{4}}$=$\frac{1}{2}$時，
y最小為$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
即△DEF的面積的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

點評 此題考查從實際問題中列出二次函數(shù)，二次函數(shù)的最值，等邊三角形的性質(zhì)，掌握三角形面積的計算方法是解決問題的關鍵．