Question

6．已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E．
（1）如圖1，求證：EA•EC=EB•ED；
（2）如圖2，若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，AD是⊙O的直徑，求證：AD•AC=2BD•BC；
（3）如圖3，若AC⊥BD，點O到AD的距離為2，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到角相等，從而證得三角形相似，于是得到結論；
（2）如圖2，連接CD，OB交AC于點F由B是弧AC的中點得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．證得△CBF∽△ABD．即可得到結論；
（3）如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF得到AF為⊙O的直徑于是得到∠ADF=90°，過O作OH⊥AD于H，根據(jù)三角形的中位線定理得到DF=2OH=4，通過△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是結論可得．

解答 （1）證明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，
∴EA•EC=EB•ED；

（2）證明：如圖2，連接CD，OB交AC于點F
∵B是弧AC的中點，
∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．
又∵AD為⊙O直徑，
∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．
∴△CBF∽△DAB．
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{BC}{AD}$，故CF•AD=BD•BC．
∴AC•AD=2BD•BC；

（3）解：如圖3，連接AO并延長交⊙O于F，連接DF，
∴AF為⊙O的直徑，
∴∠ADF=90°，
過O作OH⊥AD于H，
∴AH=DH，OH∥DF，
∵AO=OF，
∴DF=2OH=4，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB=∠ADF=90°，
∵∠ABD=∠F，
∴△ABE∽△ADF，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DF}$，
∴BC=DF=4．

點評 本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．