Question

14．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm
（1）若OB=6cm．
①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)A向右滑動的距離與點(diǎn)B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；
（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=12 cm．

Answer 1

分析 （1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
②設(shè)點(diǎn)A向右滑動的距離為x，得點(diǎn)B向上滑動的距離也為x，利用三角函數(shù)和勾股定理進(jìn)行解答；
（2）過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證明△ACE與△BCD相似，再利用相似三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則BC=6，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，
∴BD=3，CD=3$\sqrt{3}$，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，9）；
②設(shè)點(diǎn)A向右滑動的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動的距離也為x，如圖2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6$\sqrt{3}$．
∴A'O=6$\sqrt{3}$-x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6$\sqrt{3}$-x）²+（6+x）²=12²，
解得：x=6（$\sqrt{3}$-1），
∴滑動的距離為6（$\sqrt{3}$-1）；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：

則OE=-x，OD=y，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵∠AEC=∠BDC=90°，
∴△ACE∽△BCD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AC}{BC}$，即$\frac{CE}{CD}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}$，
∴y=-$\sqrt{3}$x，
OC²=x²+y²=x²+（-$\sqrt{3}$x）²=4x²，
∴取AB中點(diǎn)D，連接CD，OD，則CD與OD之和大于或等于CO，當(dāng)且僅當(dāng)C，D，O三點(diǎn)共線時取等號，此時CO=CD+OD=6+6=12，
故答案為：12．
第二問方法二：因角C與角O和為180度，所以角CAO與角CBO和為180度，故A，O，B，C四點(diǎn)共圓，且AB為圓的直徑，故弦CO的最大值為12．

點(diǎn)評 此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)進(jìn)行分析解答．