Question

17．如圖，將矩形紙片ABCD沿直線AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段CD的中點(diǎn)F上，點(diǎn)G是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，F(xiàn)重合），點(diǎn)G過(guò)GH⊥AB，垂足為H，將矩形沿直線GH翻折，點(diǎn)A恰好落在線段BH上點(diǎn)A′處．若AB長(zhǎng)為8，則當(dāng)△A′GE為直角三角形時(shí)，AH的長(zhǎng)為$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABE≌△AFE，由于AF=AB=8，EF=BE，∠2=∠3，于是得到DC=AB=8，BC=AD，根據(jù)勾股定理得到BC=AD=$\sqrt{A{F}^{2}{-DF}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，根據(jù)已知求得∠1=∠2=30°，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=4$\sqrt{3}$-x，由勾股定理列方程解得BE=x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AG=A′G，AH=A′H，證出△AGA′是等邊三角形，推出△AGE≌△AA′E，得到GE=A′E，當(dāng)△A′GE是直角三角形時(shí)，只能∠A′EG=90°，于是得到△A′EG是等腰直角三角形，設(shè)AH=y，則AA′=A′G=2y，A′B=AB=AB-AA′=8-2y，再根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果．

解答 解：如圖所示，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△ABE≌△AFE，
∵AF=AB=8，EF=BE，∠2=∠3，
有已知得：DC=AB=8，BC=AD，
∵F是DC的中點(diǎn)，DF=CF=$\frac{1}{2}$DC=4，
∴BC=AD=$\sqrt{A{F}^{2}{-DF}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵∠D=90°，AF=2DF，
∴∠1=30°，
∴∠BAF=60°，
∴∠1=∠2=30°，
設(shè)BE=x，則EF=x，CE=4$\sqrt{3}$-x，
在Rt△CEF中，EF²=CE²+CF²，
即${x}^{2}=（4\sqrt{3}-x）^{2}+16$，
解得：BE=x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵矩形沿GH翻折，點(diǎn)A落在線段BH上點(diǎn)A′處，
∴AG=A′G，AH=A′H，
∵∠BAF=60°，
∴△AGA′是等邊三角形，
∴AG=AA′，
在△AGE與△AA′E中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AA′}\\{∠2=∠3}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AA′E，
∴GE=A′E，
∴當(dāng)△A′GE是直角三角形時(shí)，只能∠A′EG=90°，
∴△A′EG是等腰直角三角形，設(shè)AH=y，則AA′=A′G=2y，A′B=AB=AB-AA′=8-2y，
在等腰直角三角形A′GE中，A′E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A′G=$\sqrt{2}$y，
在直角三角形A′BE中，A′E=$\sqrt{A′{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（8-2y）^{2}+（\frac{8\sqrt{3}}{3}）^{2}}$，
2y²=（8-2y）²+（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）²
解得：y₁=$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$，y₂=8$+\frac{8\sqrt{3}}{3}$（不合題意舍去），
∴AH=$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{24-8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換-折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．