Question

6．如圖，半徑為3cm的⊙O中，C，D為直徑AB的三等分點，點E，F分別在AB兩側的半圓上，∠BCE=∠BDF=60°，連接AE，BF，則圖中兩個陰影部分的面積為$\frac{3\sqrt{11}}{2}$．

Answer 1

分析 作三角形DBF的軸對稱圖形，得到三角形AGC，三角形AGC的面積就是陰影部分的面積．

解答 解：如圖作△DBF的軸對稱圖形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，
∵△DBF的軸對稱圖形△CAG，
由于C、D為直徑AB的三等分點，
∴△ACG≌△BDF，
∴∠ACG=∠BDF=60°，
∵∠ECB=60°，
∴G、C、E三點共線，
∵AM⊥CG，ON⊥CE，
∴AM∥ON，
∴$\frac{AM}{ON}$=$\frac{AC}{OC}$，
在Rt△ONC中，∠OCN=60°，
∴ON=sin∠OCN•OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•OC，
∵OC=$\frac{1}{3}$OA=1，
∴ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=$\sqrt{3}$，
∵ON⊥GE，
∴NE=GN=$\frac{1}{2}$GE，
連接OE，
在Rt△ONE中，NE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$，
∴GE=2NE=$\sqrt{33}$，
∴S_△AGE=$\frac{1}{2}$GE•AM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{33}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{11}}{2}$，
∴圖中兩個陰影部分的面積為$\frac{3\sqrt{11}}{2}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{11}}{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理，平行線的性質，垂徑定理，勾股定理的應用．