Question

8．如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在直線AC上（點E在F左側(cè)，）BE∥DF
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=2 $\sqrt{13}$，當(dāng)四邊形BEDF為矩形時，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）通過全等三角形△BEC≌△DFA的對應(yīng)邊相等推知BE=DF，則結(jié)合已知條件證得結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA．
在△BEC與△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠DFA}\\{∠BCE=∠DAF}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFA（AAS），
∴BE=DF．
又∵BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形；
（2）連接BD，BD與AC相交于點O，如圖：

∵AB⊥AC，AB=4，BC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=6，
∴AO=3，
∴Rt△BAO中，BO=5，
∵四邊形BEDF是矩形，
∴OE=OB=5，
∴點E在OA的延長線上，且AE=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．