Question

9．在四邊形ABCD中，M是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在AD的延長線上，且DF=DC，N為MD的中點(diǎn)．連接BN，CN，作NE⊥BN交直線CF于點(diǎn)E．
（1）如圖1，若四邊形ABCD為正方形，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，求證；NB=NC=NE；
（2）如圖2，若四邊形ABCD為正方形，當(dāng)點(diǎn)M與A不重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，若四邊形ABCD為矩形，當(dāng)點(diǎn)M與A不重合，點(diǎn)E在FC的延長線上時(shí)，請(qǐng)你就線段NB，NC，NE提出一個(gè)正確的結(jié)論．（不必說理）

Answer 1

分析 （1）先證明△MBN≌△DCN，得NB=NC，再證明∠NCE=∠NEC，由等角對(duì)等邊可知NC=NE，所以NB=NC=NE；
（2）結(jié)論仍然成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出AN=DN，證明△ABN≌△DCN，得NB=NC，再根據(jù)角的關(guān)系求出∠NCE=∠DCN+45°，∠CEN=∠EGD+45°，所以∠NCE=∠CEN，則NC=NE，結(jié)論成立；
（3）NB=NC=NE，如圖3，延長EN交AD于G，連接AN，同理得出NB=NC，再根據(jù)∠NEF=∠ECN，得NC=NE，所以NB=NC=NE．

解答 解：（1）如圖1，在正方形ABCD 中，
∵AB=CD，∠A=∠ADC，MN=DN，
∴△MBN≌△DCN，
∴NB=NC，
∵NE⊥BN
∴∠BNE=90°
∴∠BNA+∠ENF=90°，
∵∠ABN+∠ANB=90°，
∴∠ABN=∠ENF，
∵∠ABN=∠NCD，
∴∠NCD=∠ENF，
∵CD=DF，∠CDF=90°，
∴∠F=∠DCF=45°，
∵∠NCE=∠DCN+∠DCF=∠DCN+45°，∠CEN=∠ENF+∠F=∠ENF+45°，
∴∠NCE=∠NEC，
∴NC=NE，
∴NB=NC=NE；
（2）成立，如圖2，延長EN交AD于G，連接AN，
在Rt△ADM中，
∵N是MD的中點(diǎn)，
∴AN=DN，
∴∠NAD=∠NDA，
∴∠BAN=∠MDC，
∵AB=CD，
∴△ABN≌△DCN，
∴NB=NC，
∵NE⊥BN，
∴∠ABN+∠AGN=180°，
∵∠EGD+∠AGN=180°，
∴∠ABN=∠EGD，
∵∠ABN=∠DCN，
∴∠EGD=∠DCN，
∵CD=DF，∠CDF=90°，
∴∠F=∠DCF=45°
∵∠NCE=∠DCN+∠DCF=∠DCN+45°，∠CEN=∠EGD+∠F=∠EGD+45°，
∴∠NCE=∠CEN，
∴NC=NE，
∴NB=NC=NE；
（3）NB=NC=NE，理由是：
如圖3，延長EN交AD于G，連接AN，
同理得AN=DN，
∴∠NAD=∠NDA，
∴∠BAN=∠NDC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，
∴△ABN≌△DCN，
∴NB=NC，
∵NE⊥BN，
∴∠ABN+∠AGN=180°，
∵∠EGD+∠AGN=180°，
∴∠ABN=∠EGD，
∵∠ABN=∠DCN，
∴∠EGD=∠DCN，
∵∠F=∠DCF=45°，
在△EGF中，∠NEF=180°-∠EGD-∠F=135°-∠EGD，
∠ECN=180°-∠DCN-∠DCF=135°-∠DCN，
∴∠NEF=∠ECN，
∴NC=NE，
∴NB=NC=NE．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、矩形的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)和判定；同時(shí)還利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半證明邊相等，從而得出角的關(guān)系；本題的三個(gè)問題是從特殊到一般，都是先利用全等得出NB=NC，再根據(jù)等腰三角形的判定得出NE=NC，從而使問題得以解決．