Question

16．在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)（不與AB重合），AD=kBD，過點(diǎn)D作∠EDF+∠C=180°，與CA、CB分別交于E、F．
（1）如圖1，當(dāng)DE=DF時，求$\frac{AC}{BC}$的值．
（2）如圖2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的長（用含k，m的式子表示）

Answer 1

分析 （1）連接CD，由∠EDF+∠C=180°，推出D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，根據(jù)正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$ ①，$\frac{BD}{sin∠ADC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，②，①÷②得，$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$，根據(jù)AD=kBD，根據(jù)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A=60°，根據(jù)正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠DEA}=\frac{DE}{sin∠A}$=$\frac{DE}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$   ③，$\frac{BD}{sin∠DFB}=\frac{DF}{sin∠B}=\frac{DF}{\frac{1}{2}}$，④，④÷③得：$\frac{\sqrt{3}DF}{DE}=\frac{BD}{AD}$，求得DF=$\frac{\sqrt{3}DE}{3}•\frac{BD}{AD}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，連接CD，
∵∠EDF+∠C=180°，
∴D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∵DE=DF，
∴∠DCE=∠DCF，
根據(jù)正弦定理得$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$   ①，
$\frac{BD}{sin∠DCB}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，
∴$\frac{BD}{sin∠ADC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，②，
∵∠ADC=180°-∠BDC，
∴sin∠ADC=sin∠BDC，
①÷②d得，$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}$，
∵AD=kBD，
∴$\frac{AC}{BC}$=k；

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
根據(jù)正弦定理得：$\frac{AD}{sin∠DEA}=\frac{DE}{sin∠A}$=$\frac{DE}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$   ③，$\frac{BD}{sin∠DFB}=\frac{DF}{sin∠B}=\frac{DF}{\frac{1}{2}}$，④，
由（1）知D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠DEA+∠DFB=180°，
∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：$\frac{\sqrt{3}DF}{DE}=\frac{BD}{AD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}DE}{3}•\frac{BD}{AD}$，
∵AD=kBD，DE=m，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}m}{3k}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角函數(shù)的定義，正弦定理，正確掌握正弦定理是解題的關(guān)鍵．