Question

2．一公司生產(chǎn)某商品每件成本為20元，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該商品在未來40天內(nèi)的當(dāng)天銷售量m（件）與時(shí)間第t（天）滿足關(guān)系式m=-2t+96；未來40天內(nèi)，前20天當(dāng)天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間第t（天）的函數(shù)式為y₁=0.25t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天當(dāng)天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間第t（天）的函數(shù)式為y₂=-0.5t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）．
（1）求日銷售利潤W（元）與時(shí)間第t（天）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）請預(yù)測未來40天中第14天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是578 元．
（3）在實(shí)際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈(zèng)a元利潤（a＜5）給希望工程，公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間第t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以求得W與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式可以分別求得函數(shù)的最大值，從而可以解答本題；
（3）根據(jù)題意可以寫出W與t和a的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
當(dāng)1≤t≤20且t為整數(shù)時(shí)，W=（0.25t+25-20）（-2t+96）=-0.5t²+14t+480，
當(dāng)21≤t≤40且t為整數(shù)時(shí)，W=（-0.5t+40-20）（-2t+96）=t²-88t+1920，
即日銷售利潤W（元）與時(shí)間第t（天）的函數(shù)關(guān)系式是：W=$\left\{\begin{array}{l}{-0.5{t}^{2}+14t+480}&{1≤t≤20且t是整數(shù)}\\{{t}^{2}-88t+1920}&{21≤t≤40且t是整數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)1≤t≤20且t為整數(shù)時(shí)，W=-0.5t²+14t+480=-0.5（t-14）²+578，
∴t=14時(shí)，W取得最大值，此時(shí)W=578，
當(dāng)21≤t≤40且t為整數(shù)時(shí)，W=t²-88t+1920=（t-44）²-16，
∴t=21時(shí)，取得最大值，此時(shí)W=513，
由上可得，第14天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是578元，
故答案為：14，578；
（3）由題意可得，
W=（0.25t+25-20-a）（-2t+96）=-0.5（t-14-2a）²+2（a-17）²，
對稱軸為t=14+2a，
∵前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間第t（天）的增大而增大，
∴14+2a≥20，
解得，a≥3，
又∵a＜5，
∴3≤a＜5，
即a的取值范圍是3≤a＜5．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．