Question

10．已知：點(diǎn)A、C分別是∠B的兩條邊上的點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是直線BA、BC上的點(diǎn)，直線AE、CD相交于點(diǎn)P點(diǎn)，D、E分別在線段BA、BC上．若∠B=60°，且AD=BE，BD=CE．
（1）求證△ABC是等邊三角形
（2）判斷△AEC≌△BCD嗎？若全等請說明理由．
（3）求∠APD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用等式的性質(zhì)得出AB=BC，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）知△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△CBD≌△ACE
（3）由（2）△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出結(jié)論；

解答 解：（1）如圖，連結(jié)AC，
∵AD=BE，BD=CE，
∴AD+BD=BE+CE，
∴AB=BC．
∵∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
（2）△AEC≌△BCD，
理由：由（1）知，△ABC為等邊三角形．
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC．
在△CBD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠B=∠ACB}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△ACE（SAS），
（3）由（2）知，△CBD≌△ACE
∴∠BCD=∠CAE．
∵∠APD=∠CAE+∠ACD，
∴∠APD=∠BCD+∠ACD=60°．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．