Question

5．如圖，邊長為1的正方形ABCD，Q是CD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），連接AQ交BD于點(diǎn)M，過M作MN⊥AQ交BC于N點(diǎn)，連接AN交BD于點(diǎn)P，在點(diǎn)Q運(yùn)動過程中有下列結(jié)論：①AM=MN；②BM•DP=1；③存在點(diǎn)Q，使得BN+DQ=1；④$\sqrt{2}$BM-BN=1．其中一定成立的是①②④．

Answer 1

分析 ①作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，由∠AMN=∠ABC=90°，得到A，B，N，M四點(diǎn)共圓，推出∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，得到等腰直角三角形AM=MN；
②由∠AMB=45°+∠DAM，∠DAP=45十∠DAM，得到∠DAP=∠BMA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM：AD=AB：PD，于是得到BM．DP=AB．AD=1．
③由∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°在∠NAM內(nèi)作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，構(gòu)造全等三角形△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，推出∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，點(diǎn)U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ≠1；
④作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點(diǎn)M是對角線BD上的點(diǎn)，得到四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，得到△AMS≌△NMW證得AS=NW，推出AB+BN=SB+BW=2BW，由BW：BM=1：$\sqrt{2}$，得到$\frac{AN+BN}{BM}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，推出$\sqrt{2}$BM-BN=1．

解答 證明：①如圖1，作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四點(diǎn)共圓，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴AM=MN；
∴①正確；
②∠AMB=45°+∠DAM，
∵∠DAP=45十∠DAM，
∴∠DAP=∠BMA，
又∵∠ABM=∠PDA=45°，
∴△ABM∽△PDA，
∴BM：AD=AB：PD，
∴BM．DP=AB．AD=1
故②正確；
③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴在∠NAM內(nèi)作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，
∴△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，
∴點(diǎn)U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ≠1；
∴③錯誤；
④如圖2，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點(diǎn)M是對角線BD上的點(diǎn)，
∴四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM，
∴AB+BN=2BW=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM）=$\sqrt{2}$BM，
∴$\sqrt{2}$BM-BN=1，
∴④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確作出輔助線并運(yùn)用有關(guān)知識理清圖形中線段間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．