Question

11．已知，△ABE內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的切線．
（1）如圖1，求證：∠BAE=∠CBE；
（2）如圖2，連接AC交BE于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)L，若∠C+∠E=180°，求證：AB=AC；
（3）在（2）的條件下，∠ABE=2∠CAE，BD=5，AB=7，求DL的長．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作直徑BF，連接EF，如圖1，利用切線的性質(zhì)得∠FBE+∠CBE=90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BEF=90°，∠BAE=∠F，于是可得到∠BAE=∠CBE；
（2）連接BL，如圖2，根據(jù)圓周角定理得到∠E=∠ALB，利用等角的補(bǔ)角相等得到∠BLC=∠C，再利用（1）的結(jié)論得∠CBL=∠CAB，所以∠BLC=∠ABC=∠C，則根據(jù)等腰三角形的判定定理得到AB=AC；
（3）作BH⊥CD于H，連接BL，如圖3，設(shè)∠CAE=x，∠C=y，則∠ABE=2x，∠E=180°-y，利用∠DAE+∠E=∠CBD+∠BCD可得到y(tǒng)=x+60°，則∠C=x+60°，∠CBD=60°-x，利用三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠BDC=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，接著根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AH=$\frac{11}{2}$，則CH=$\frac{3}{2}$，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CH=LH=$\frac{3}{2}$，最后計(jì)算DH-LH即可．

解答 （1）證明：過點(diǎn)B作直徑BF，連接EF，如圖1，
∵BC為⊙O的切線，
∴FB⊥BC，
∴∠FBE+∠CBE=90°，
∵BF為直徑，
∴∠BEF=90°，
∴∠F+∠FBE=90°，
∴∠F=∠CBE，
∵∠BAE=∠F，
∴∠BAE=∠CBE；
（2）證明：連接BL，如圖2，
∵∠E=∠ALB，
而∠ALB+∠BLC=180°，∠C+∠E=180°，
∴∠BLC=∠C，
由（1）得∠CBL=∠CAB，
∴∠BLC=∠ABC=∠C，
∴AB=AC；
（3）解：作BH⊥CD于H，連接BL，如圖3，
設(shè)∠CAE=x，∠C=y，則∠ABE=2x，∠E=180°-y，
∵∠ABC=∠C=y，
∴∠CBE=y-2x，
∵∠DAE+∠E=∠CBD+∠BCD，
即x+180°-y=y-2x+y，
∴y=x+60°，
即∠C=x+60°，∠CBD=60°-x，
∴∠BDC=180°-（x+60°+60°-x）=60°，
在Rt△BDH中，DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$，BH=$\sqrt{3}$DH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{11}{2}$，
∵AC=AB=7，
∴CH=7-$\frac{11}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵∠BLC=∠C，BH⊥CL，
∴CH=LH=$\frac{3}{2}$，
∴DL=DH-LH=$\frac{5}{2}$-$\frac{3}{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理和切線的性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用勾股定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算線段的長；理解（1）小題的結(jié)論解決（2）小題．