Question

2．如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，CD為∠ACB的外角的平分線，F(xiàn)為$\widehat{AD}$上一點(diǎn)，BC=AF，延長(zhǎng)DF與BA的延長(zhǎng)線交于E，求證：
（1）求證：∠DCM=∠BAD，并用文字?jǐn)⑹鲞@個(gè)結(jié)論；
（2）求證：AD=BD；
（3）求證：AC•AF=DF•FE．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BAD+∠BCD=180°，由平角的定義得到∠MCD+∠BCD=180°，等量代換得到∠DCM=∠BAD，即圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角；
（2）CD為∠BCA的外角的平分線得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；
（3）由在△CDA與△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，得出△CDA∽△FAE，即可推出CD•EF=AC•AF．

解答 證明：（1）∵圓內(nèi)接四邊形ABCD中，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠MCD+∠BCD=180°，
∴∠DCM=∠BAD，
即圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角；

（2）∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DCB+∠DAB=180°，
∵∠MCD+∠DCB=180°，
∴∠MCD=∠DAB，
∵CD為∠BCA的外角的平分線，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠DCA和∠DBA都對(duì)弧AFD，
∴∠DCA=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA；

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，則弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，
∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF，
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，
即∠CDA=∠BDF，
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°，
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA與△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，
∴△CDA∽△FAE，
∴CD•EF=AC•AF，
∴AC•AF=DF•EF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是證此題的關(guān)鍵．