Question

16．正方形ABCD的邊長為6，E為直線CD上一點，且∠DAE=30°，折疊正方形ABCD，使點A與點E重合，折痕MN交AD邊于點M，交正方形的另一邊于點N，則線段CN的長為6-2$\sqrt{3}$或2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①如圖1，點E在CD的延長線上，解直角三角形得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，AE=4$\sqrt{3}$，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到MN⊥AE，AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，求得EN=4$\sqrt{3}$，于是得到結論；②如圖2，點E在CD上，解直角三角形的得到DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，求得CE=6-2$\sqrt{3}$，由折疊的性質(zhì)得到MN垂直平分AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AN=EN，設CN=x，則BN=6-x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：①如圖1，點E在CD的延長線上，
∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AD=6，∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠DAE=30°，
∴∠E=60°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，AE=4$\sqrt{3}$，
∵折疊正方形ABCD，使點A與點E重合，
∴MN⊥AE，AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴EN=4$\sqrt{3}$，
∴DN=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴CN=6-2$\sqrt{3}$；
②如圖2，點E在CD上，
∵四邊形ABCD 是正方形，
∴AD=6，∠ADC=90°，
∵∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
∴CE=6-2$\sqrt{3}$，
∵折疊正方形ABCD，使點A與點E重合，
∴MN垂直平分AE，
∴AN=EN，
設CN=x，則BN=6-x，
∵AB²+BN²=AN²，CN²+CE²=EN²，
∴AB²+BN²=CN²+CE²，
即6²+（6-x）²=x²+（6-2$\sqrt{3}$）²，
∴x=2+2$\sqrt{3}$，
∴CN=2+2$\sqrt{3}$．
綜上所述：線段CN的長為6-2$\sqrt{3}$或2+2$\sqrt{3}$．
故答案為：6-2$\sqrt{3}$或2+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關鍵．