Question

7．某學(xué)校小組利用暑假中前40天參加社會實(shí)踐活動，參與了一家網(wǎng)上書店經(jīng)營，了解到一種成本每本20元的書在x天銷售量P=50-x．在第x天的售價每本y元，y與x的關(guān)系如圖所示．  已知當(dāng)社會實(shí)踐活動時間超過一半后．y=20+$\frac{315}{x}$
（1）請求出當(dāng)1≤x≤20時，y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出第12天此書的銷售單價；
（2）這40天中該網(wǎng)點(diǎn)銷售此書第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)1≤x≤20時，設(shè)y=kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入，利用待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；然后在每個x的取值范圍內(nèi)，令y=35，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤=售價-成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，獲得的利潤w與x的函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，然后比較即可．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x≤20時，設(shè)y=kx+b，將（1，30.5），（20，40）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=30.5}\\{20k+b=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=30}\end{array}\right.$，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x+30（1≤x≤20），
當(dāng)x=12時，y=6+30=36，
答：函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{1}{2}$x+30，第12天該商品的銷售單價為每本36元；

（2）設(shè)該網(wǎng)店第x天獲得的利潤為w元．
當(dāng)1≤x≤20時，w=（$\frac{1}{2}$x+30-20）（50-x）=-$\frac{1}{2}$x²+15x+500=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{1225}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)x=15時，w有最大值w₁，且w₁=$\frac{1225}{2}$，
當(dāng)21≤x≤40時，w=（20+$\frac{315}{x}$-20）（50-x）=$\frac{15750}{x}$-315，
∵15750＞0，
∴$\frac{15750}{x}$隨x的增大而減小，
∴x=21時，$\frac{15750}{x}$最大．
于是，x=21時，w有最大值w₂，且w₂=$\frac{15750}{21}$-315=435，
∵w₁＞w₂，
∴這40天中該網(wǎng)點(diǎn)銷售此書第15天獲得的利潤最大，最大的利潤是612.5元．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)以及最值的求法，難度適中．