Question

如圖1，點O為直線AB上一點，∠AOC=60°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OP在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OP恰好平分∠BOC，求∠BOP的度數(shù)；
（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，若t秒后∠CON=90°，則t的值為

 

  秒．（直接寫出結(jié)果）；
（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚骸螦OP與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：角的計算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；
（2）由∠AOC=60°，∠CON=90°，可得順時針旋轉(zhuǎn)60°或240°時滿足題意，據(jù)此求出t=6或24；
（3）因為∠PON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOP=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON，然后求差即可．

解答：解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又∵OP平分∠BOC，
∴∠BOP=

1

2

∠BOC=60°，
（2）有兩種情形：①如圖4所示：作OM⊥AB，


∵∠CON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AON=30°，∴∠MON=60°，∴t=60°÷10°=6；
②如圖5所示：作OM⊥AB，

∵∠CON=90°，∠AOC=60°，
∴∠NOB=30°，∴∠NOM=120°，
∴（360°-120°）÷10°=24；
因此t=6或24秒
（3）∠AOP-∠NOC=30°．理由如下：
∵∠PON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOP=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，
∴∠AOP-∠NOC=（90°-∠AON）-（60°-∠AON）=30°，
則∠AOP與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系是：∠AOP-∠NOC=30°．

點評：此題考查了角的計算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找出各個量之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵．