Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，作AF∥BC，連接DE并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)F，連接FC．求證：AF=DA．

Answer 1

分析 先連接BE，根據(jù)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，判定△ABE是等邊三角形，再根據(jù)∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，判定△BAD≌△EAD（SAS），得出∠AED=∠B=90°，然后求得∠FAE=90°-60°=30°=∠DAE，得出∠AFE=∠ADE，最后得到AD=AF．

解答 證明：連接BE，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=2AB，
∴AB=AE，BE=AE，
∴AB=BE=AE，即△ABE是等邊三角形，
∵∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠EAD=30°，
在△BAD和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴∠AED=∠B=90°，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=90°，
∴∠FAE=90°-60°=30°=∠DAE，
∴∠AFE=∠ADE，
∴AD=AF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，解題時(shí)注意：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．