Question

17．已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)G在BC上，連接AG，過(guò)C作CF⊥AG，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CF于點(diǎn)F．
（1）求證：△CBF≌△ACE；
（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DE、DF，求證：DE=DF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義和等角的余角相等以及全等三角形的判定證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定證明即可．

解答 （1）證明：如圖，因?yàn)锳E⊥CF，BF⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠1﹢∠3=∠2﹢∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△CBF與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠AEC=∠CFB=90°}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△ACE（AAS）；
（2）證明：連接CD，
∵△ACE≌△CBF，
∴CE=BF，
∵等腰RT△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD，
∵CD⊥BD，
∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，
∴∠DCE=∠DBF，
在△DCE與△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠DCE=∠DBF}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DBF（SAS），
∴DE=DF．

點(diǎn)評(píng) 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)垂直的定義和等角的余角相等以及全等三角形的判定證明．