Question

13．△ABC內(nèi)接于⊙O，已知∠ABC=∠ACB．
（1）如圖（1），求證：AO平分∠BAC；
（2）如圖（2），點(diǎn)D是弧AC上一點(diǎn)，連接BD交AC于點(diǎn)G，連接CD，弦AE交BD于F、交CD于H，并且AE⊥BD，求證：BD+CD=2BF；
（3）如圖（3）在（2）的條件下，BD經(jīng)過(guò)圓心O，連接DE，OG=DH，S_△DEH=9$\sqrt{2}$，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BO，OC，由∠ABC=∠ACB得出AB=AC，由SSS證得△AOB≌△AOC，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)A作AM⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接AD，證得∠ADM=∠ADB，由AAS證得△ADM≌△ADF，得出DM=DF，再由HL證得Rt△AFB≌Rt△AMC，得出MC=BF=MD+DC，即可得出結(jié)論；（3）連OH、AD、OE，設(shè)∠OAB=∠OBA=α，則∠AOD=∠BAC=2α，由SAS證得△AOG≌△ODH，得出∠DOH=∠OAC=α，再由SAS證得△DOH≌△EOH，得出DH=HE，證出△AOF、△DFH為等腰直角三角形，由S_△DEH=$\frac{1}{2}$HE•DF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$DF×DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF²，求出DF，再由OD=OA=$\sqrt{2}$OF=$\sqrt{2}$（OD-DF），求出OD，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接BO，OC，則BO=OC，如圖1所示：
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
在△AOB和△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{BO=OC}\\{AB=AC}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AO平分∠BAC；

（2）證明：過(guò)A作AM⊥CD交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，連接AD，如圖2所示：
∵∠ADM=∠DAC+∠ACD=∠ABD+∠DBC，
∴∠ADM=∠ABC 
∵∠ACB=∠ADB，∠ACB=∠ABC，
∴∠ADM=∠ADB，
在△ADM和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠ADF}\\{∠AMD=∠AFD=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADF（AAS），
∴DM=DF，AF=AM，
在Rt△AFB和Rt△AMC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFB≌Rt△AMC（HL），
∴MC=BF=MD+DC，
∴BD+CD=BF+DM+CD=2BF；

（3）解：連OH、AD、OE，如圖3所示：
 設(shè)∠OAB=∠OBA=α，
∴∠AOD=∠BAC=2α
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠AOD=∠BDC，
在△AOG和△ODH中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠ODH}\\{OG=DH}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△ODH（SAS），
∴∠DOH=∠OAC=α，
∵BD⊥AE，
∴$\widehat{AD}=\widehat{DE}$，
∴∠DOE=∠AOD=2α，
∴∠HOE=∠HOD=α，
在△DOH和△EOH中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠HOD=∠HOE}\\{OH=OH}\end{array}\right.$，
∴△DOH≌△EOH（SAS），
∴DH=HE，
∴∠HED=∠HDE=α，
∴∠CAE=∠CDE=α
∴∠OAF=2α，
 在Rt△AOF中，∠FAO=∠AOF=2α，
∴∠FAO=∠AOF=45°
∴∠FDH=∠FHD=45°，
∴FD=FH，
在Rt△DFH中，DH=$\sqrt{2}$DF，
∴HE=$\sqrt{2}$DF，
∵S_△DEH=$\frac{1}{2}$HE•DF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$DF×DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF²，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$DF²=9$\sqrt{2}$，
∴DF=3$\sqrt{2}$，
∵OD=OA=$\sqrt{2}$OF=$\sqrt{2}$（OD-DF），
即：OD=$\sqrt{2}$OD-6，
∴OD=$\frac{6}{\sqrt{2}-1}$=6（$\sqrt{2}$+1）=6$\sqrt{2}$+6，
∵∠FAC=∠FAD=α，∠AFG=∠AFD=90°，
∴∠AGD=∠ADF，
∴AG=AD，
∴GF=FD=3$\sqrt{2}$，
∴OG=OD-DG=OD-2DF=6$\sqrt{2}$+6-6$\sqrt{2}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵