Question

8．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，D，E是AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接BD交⊙O于點(diǎn)F，且∠BAD=2∠DBE，AB=AD．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若AC=4，DE=1，求線段BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到∠DBE=$\frac{∠BAD}{2}$，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=90°-$\frac{∠BAD}{2}$=90°-∠DBE，于是得到結(jié)論；
（2）連接BC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)BE是⊙O的切線得到∠ABE=90°，設(shè)CD=x，則AB=AD=4+x，AE=5+x，由射影定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∴∠BAD=2∠DBE，
∴∠DBE=$\frac{∠BAD}{2}$，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD）=90°-$\frac{∠BAD}{2}$=90°-∠DBE，
∴∠ABD+∠DBE=90°-∠DBE+∠DBE=90°，
∴AB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線；
（2）解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵BE是⊙O的切線
∴∠ABE=90°，
設(shè)CD=x，則AB=AD=4+x，AE=5+x，
由射影定理得：AB²=AC•AE，
即（4+x）²=4（x+5），
解得：x=2（舍去負(fù)值），
∴BC²=AB²-AC²=（4+2）²-4²=20，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{20+{2}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，射影定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．