Question

20．已知AB=AC=BD=k•BE．∠BAC=2∠BED，∠DBE=90°，點(diǎn)O為CE的中點(diǎn)連接AO：
（1）如圖1，C，D，E在一條直線(xiàn)上，k=1，
①求∠BDE的度數(shù)；
②線(xiàn)段AO，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，將△BED繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，求$\frac{CD}{AO}$的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出∠BDE的度數(shù)；
②延長(zhǎng)CA至M，使AM=AC，連接BM、EM，證明△EBM≌△DBC，得到CD=EM，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理證明AO=$\frac{1}{2}$EM，得到答案；
（2）延長(zhǎng)CA至G，使AG=AC，連接BG、EG，證明△GBC∽△EBD和△GBE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案．

解答 解：（1）①∵BD=k•BE，k=1，
∴BD=BE，
又∵∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°；
②如圖1，延長(zhǎng)CA至M，使AM=AC，連接BM、EM，
∵∠BAC=2∠BED，
∴∠BAC=90°，又AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵AM=AC，AB=AC，
∴∠MBC=90°，
∴BM=BC，
∵∠DBE=90°，∠MBC=90°，
∴∠EBM=∠DBC，
在△EBM和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠EBM=∠DBC}\\{BM=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△DBC，
∴CD=EM，
∵點(diǎn)O為CE的中點(diǎn)，AM=AC，
∴AO=$\frac{1}{2}$EM，
∴AO=$\frac{1}{2}$CD；
（2）CD=2k•OA．
如圖2，延長(zhǎng)CA至G，使AG=AC，連接BG、EG，
∵AG=AC，AB=AC，
∴∠GBC=90°，
又∵∠DBE=90°，
∴∠EBG=∠DBC，
∵AG=AB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠BAC=2∠ABG，又∠BAC=2∠BED，
∴∠ABG=∠BED，又∠GBC=∠DBE=90°，
∴△GBC∽△EBD，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，又∠ABG=∠AGB，
∴△GBE∽△CBD，
∴$\frac{CD}{GE}$=$\frac{BD}{BE}$=k，
∴CD=k•GE，
∵EO=OC，GA=AC，
∴GE=2OA，
∴CD=2k•OA．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形、全等三角形的知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意要正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形．