Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖（1），點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)p作Y軸的平行線交X軸于點(diǎn)E．當(dāng)△PBC面積的最大值時(shí)，點(diǎn)F為線段BC一點(diǎn)（不與點(diǎn)BC重合），連接EF，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)E出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，再沿FC以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)G在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？
（3）如圖2，將△ACO沿射線CB方向以每秒$\frac{2\sqrt{3}}{3}$個(gè)單位的速度平移，記平移后的△ACO 為△A₁C₁O₁連接AA₁，直線AA₁交拋物線與點(diǎn)M，設(shè)平移的時(shí)間為t秒，當(dāng)△AMC₁為等腰三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△ABC是直角三角形．在Rt△AOC中，由tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，推出∠ACO=30°，在Rt△OBC中，由tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\sqrt{3}$，推出∠BCO=60°，可得∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°；
（2）設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$），作射線CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，F(xiàn)G⊥AE于G，則FH=CF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間=$\frac{EF}{1}$+$\frac{CF}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF=EF+FH，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EH⊥CN時(shí)，動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小，由此即可解決問(wèn)題；
（3）求出直線AM的解析式，利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，由題意C′（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$），分三種情形討論，想辦法列出方程即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）結(jié)論：△ABC是直角三角形．
理由：如圖1中，連接AC．
∵拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-$\sqrt{3}$），
在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACO=30°，
在Rt△OBC中，∵tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（2）設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m-$\sqrt{3}$），作射線CN，使得∠BCN=60°，作FH⊥CN于H，F(xiàn)G⊥AE于G，
則FH=CF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF．
則S_△PBC=S_△POC+S_△POB-S_△BOC
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×m+$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×3
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，△PBC的面積最大，此時(shí)P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
∵動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間=$\frac{EF}{1}$+$\frac{CF}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=EF+$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF=EF+FH，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EH⊥CN時(shí)，動(dòng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最小，
∵∠EFB=∠EBF=30°，
∴EF=EB=$\frac{3}{2}$，
在Rt△EFG中，F(xiàn)G=EF•cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，EG=$\frac{3}{4}$，OG=$\frac{3}{4}$，
∴此時(shí)F的坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

（3）由題意直線BC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\sqrt{3}$，直線AC的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴M（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
∵C₁（t，$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$），
∴AM²=5²+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）²，C₁A²=（t+1）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）²，MC₁=（4-t）²+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）²，
①當(dāng)AM=MC₁時(shí)，5²+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）²=（4-t）²+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）²，解得t=5+$\sqrt{22}$或5-$\sqrt{22}$，
②當(dāng)C₁A=C₁M時(shí)，（t+1）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）²=（4-t）²+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）²，解得t=$\frac{5}{2}$
③當(dāng)C₁A=AM時(shí)，5²+（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）²=（t+1）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t-$\sqrt{3}$）²，解得t=$\sqrt{22}$s或-$\sqrt{22}$（舍棄），
綜上所述，滿足條件的t的值為（5+$\sqrt{22}$）s或（5-$\sqrt{22}$）s或$\frac{5}{2}$s或$\sqrt{22}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．