Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，m）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接OA，將OA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AB，若反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象恰好同時經(jīng)過點(diǎn)A、B，則k的值為2+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE與三角形ABD全等，由確定三角形的對應(yīng)邊相等得到BD=AE=m，AD=OE=2，進(jìn)而表示出ED及OE+BD的長，即可表示出B坐標(biāo)；由A與B都在反比例圖象上，得到A與B橫縱坐標(biāo)乘積相等，列出關(guān)系式，于是得到結(jié)論．

解答 解：過A作AE⊥x軸，過B作BD⊥AE，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠BAD=∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠BAD}\\{∠AEO=∠BDA=90°}\\{AO=BA}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE=BD=m，OE=AD=2，
∴DE=m-2，OE+BD=m+2，
則B（m+2，m-2）；
∵A與B都在反比例圖象上，得到2m=（m+2）（m-2），
解得：m=1+$\sqrt{5}$（負(fù)值舍去），
∴A（2，1+$\sqrt{5}$），
∴k=2+2$\sqrt{5}$．
故答案為：2+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及一元二次方程的解法，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．