Question

16．已知關(guān)于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)x₁²+x₂²=-6x₁x₂時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知x₁+x₂=$\frac{2}{m}$、x₁•x₂=-$\frac{1}{m}$，結(jié)合x₁²+x₂²=-6x₁x₂即可得出關(guān)于m的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠0}\\{△=（-2）^{2}-4m×（-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得：m≥-1且m≠0．
∴m的取值范圍為m≥-1且m≠0．
（2）∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-2x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{m}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{m}$．
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-6x₁•x₂，
∴（$\frac{2}{m}$）²+$\frac{2}{m}$=$\frac{6}{m}$，
解得：m=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=1是分式方程的解．
∵m≥-1且m≠0，
∴m的值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式△≥0，列出關(guān)于m的一元一次不等式組；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x₁²+x₂²=-6x₁x₂，列出關(guān)于m的分式方程．