Question

20．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{3}{2x}$的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖象的另一支于點(diǎn)B，在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)，tan∠CAB=2，則關(guān)于x的方程x²-5x+k=0的解為x₁=-1，x₂=6．

Answer 1

分析 連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，通過(guò)角的計(jì)算找出∠AOE=∠COF，結(jié)合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$，再由tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2，可得出CF•OF的值，把k的值代入方程，求出x的值即可．

解答 解：連接OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖所示，
∵由直線AB與反比例函數(shù)y=$\frac{3}{2x}$的對(duì)稱性可知A、B點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$，
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=$\frac{3}{2}$，CF•OF=|k|，
∴k=±6．
∵點(diǎn)C在第二象限，
∴k=-6，
∴關(guān)于x的方程x²-5x+k=0可化為x²-5x-6=0，解得x₁=-1，x₂=6．
故答案為：x₁=-1，x₂=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CF•OF=6．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了相似三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)邊的比例，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出結(jié)論．