Question

14．已知四邊形ABCD是菱形，在平面直角坐標系中的位置如圖，邊AD經(jīng)過原點O，已知A（0，-3），B（4，0），反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點C，直線AC交雙曲線另一支于點E，連接DE，CD，設(shè)反比例函數(shù)解析式為y₁=$\frac{k}{x}$，直線AC解析式為y₂=ax+b．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）當y₁＜y₂時，求x的取值范圍；
（3）求△CDE的面積．

Answer 1

分析 （1）先求得C得坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）求得直線的解析式，然后聯(lián)立方程，解方程組求得交點坐標，根據(jù)圖象即可求得；
（3）根據(jù)S_△CDE=S_△ADE+S_△ADC求得即可．

解答 解：（1）∵A（0，-3），B（4，0），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5=BC，
∴C（4，5），
∵反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$圖象經(jīng)過點C，
∴k=4×5=20，
∴反比例函數(shù)解析式為y₁=$\frac{20}{x}$；

（2）把A（0，-3），C（4，5）代入y₂=ax+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4a+b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$
直線AC解析式為y₂=2x-3，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{y=\frac{20}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{5}{2}}\\{{y}_{2}=-8}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{5}{2}$，-8）
當當y₁＜y₂時，x＞4或-$\frac{5}{2}$＜x＜0；

（3）S_△CDE=S_△ADE+S_△ADC=$\frac{1}{2}$××$5×\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$×5×4=$\frac{65}{4}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點等，求得C點的坐標是解題的關(guān)鍵．