Question

8．如圖，矩形OABC的兩邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，且OC=2OA，M、N分別為OA、OC的中點(diǎn)，BM與AN交于點(diǎn)E，若四邊形EMON的面積為2，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的雙曲線的解析式為（　　）

• A． y=-$\frac{10}{x}$
• B． y=-$\frac{8}{x}$
• C． y=-$\frac{6}{x}$
• D． y=-$\frac{4}{x}$

Answer 1

分析 過(guò)M作MG∥ON，交AN于G，過(guò)E作EF⊥AB于F，由題意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a，再根據(jù)三角形相似以及三角形面積之間的關(guān)系求出B點(diǎn)坐標(biāo)，即雙曲線解析式求出．

解答 解：過(guò)M作MG∥ON，交AN于G，過(guò)E作EF⊥AB于F，
設(shè)EF=h，OM=a，
由題意可知：AM=OM=a，ON=NC=2a，AB=OC=4a，BC=AO=2a
△AON中，MG∥ON，AM=OM，
∴MG=$\frac{1}{2}$ON=a，
∵M(jìn)G∥AB
∴$\frac{MG}{AB}$=$\frac{ME}{BE}$=$\frac{1}{4}$，
∴BE=4EM，
∵EF⊥AB，
∴EF∥AM，
∴$\frac{FE}{AM}$=$\frac{BE}{BM}$=$\frac{4}{5}$．
∴FE=$\frac{4}{5}$AM，即h=$\frac{4}{5}$a，
∵S_△ABM=4a×a÷2=2a²，
S_△AON=2a×2a÷2=2a²，
∴S_△ABM=S_△AON，
∴S_△AEB=S_{四邊形EMON}=2，
S_△AEB=AB×EF÷2=4a×h÷2=2，
ah=1，又有h=$\frac{4}{5}$a，a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（長(zhǎng)度為正數(shù)）
∴OA=$\sqrt{5}$，OC=2$\sqrt{5}$，
因此B的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
經(jīng)過(guò)B的雙曲線的解析式就是y=-$\frac{10}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是輔助線的作法和相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，此題難度中等．