Question

15．①如圖1，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BAC=70°，求∠BOC的度數(shù)；
②如圖2，若點(diǎn)P為△ABC外部一點(diǎn)，PB平分∠ABC，PC平分外角∠ACD，先寫出∠BAC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 ①根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的值；
②根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PBC，根據(jù)角平分線的定義可得∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，然后整理得到∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A，再代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答 解：①∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{180°-∠A}{2}$=$\frac{180°-70°}{2}$=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-55°=125°；
②∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
理由：在△ABC中，∠ACD=∠A+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠P+∠PBC，
∵PB、PC分別是∠ABC和∠ACD的平分線，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠P+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A+∠PCB，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
故答案為：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC．

點(diǎn)評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理與性質(zhì)并求出∠PCD=$\frac{1}{2}$∠A是解題的關(guān)鍵．