Question

12．如圖（1），將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
操作發(fā)現(xiàn)：
如圖（2）：固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：
（1）線段DE與線段AC的位置關系是DE∥AC．
（2）設△BDC的面積為S₁，△AEC的面積為S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關系是S₁=S₂．
猜想論證：
（3）當△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，小明猜想．（2）中S₁與S₂的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=$\frac{1}{2}$AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

解答 （1）解：DE∥AC，理由如下：
∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，
∴AC=CD，
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠CDE，
∴DE∥AC；
故答案為：DE∥AC；
（2）解：∵∠B=30°，∠C=90°，
∴CD=AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=AD=AC，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂；
故答案為：S₁=S₂；
（3）證明：∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}&{\;}\\{∠CMD=∠N=90°}&{\;}\\{AC=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），
即S₁=S₂．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵．