Question

15．已知：直線l過(guò)點(diǎn)（0，2），且與x軸平行；直線y=$\frac{1}{4}$x+1與y軸交于A點(diǎn)，與直線l交于B點(diǎn)；拋物線y=-x²+2mx-m²+2的頂點(diǎn)為C．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用m表示）；
（3）若拋物線y=-x²+2mx-m²+2與線段AB有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．?

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（2）根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象過(guò)線段的端點(diǎn)，可得m的值，根據(jù)根的判別式，列出不等式組可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）；
直線l是y=2，
當(dāng)y=2時(shí)，x=4，即B（4，2）；
（2）配方，得
y=-（x-m）²+2，即C（ m，2 ）．
（3）∵y=-x²+2mx-m²+2過(guò)A（0，1），
∴m=1或m=-1．
又∵y=-x²+2mx-m²+2過(guò)B（4，2），
∴m=4
又∵直線$y=\frac{1}{4}x+1$與拋物線y=-x²+2mx-m²+2有唯一交點(diǎn)時(shí)
得方程$\frac{1}{4}x+1$=-x²+2mx-m²+2
∴△=（-2m+$\frac{1}{4}$）²-4（m²-1）=0
∴m=$\frac{65}{16}$，此時(shí)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于4，在線段AB上，
由題意，滿足$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2≤1}\\{-{m}^{2}+2≥-\frac{6{5}^{2}}{1{6}^{2}}+2}\end{array}\right.$時(shí)，拋物線與線段AB有公共點(diǎn)，
解得-$\frac{65}{16}$≤m≤-1或1≤m≤$\frac{65}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二函數(shù)的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解（2）的關(guān)鍵是配方法，解（3）的關(guān)鍵是利用根的判別式．