Question

2．已知關于x的一元二次方程x²-（m-1）x-2（m+3）=0．
（1）試證：無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設x₁、x₂是方程的兩根，且滿足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=12，求m的值．

Answer 1

分析 （1）表示出根的判別式，配方后得到根的判別式大于0，進而確定出方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）利用根與系數(shù)的關系可以得到x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-2（m+3），再把x₁²+x₂²=12進行變形可得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，然后代入計算即可求解．

解答 解：（1）∵a=1，b=m-1，c=-2（m+3），
∴△=b²-4ac=（m-1）²+4×2（m+3）=m²+6m+12=（m+3）²+3＞0，
∴無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）∵x₁、x₂是方程的兩根，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-2（m+3），
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=12，
∴（m+1）²+4（m+3）=12，
∴m²+2m+1=0，
∴m=-1．

點評 此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數(shù)根．