Question

7．小明和同桌小聰在課后復習時，對課本“目標與評定”中的一道思考題，進行了認真地探索．思考題．如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？
（1）請你將小明對“思考題”的解答補充完整：
解：設點B將向外移動x米，即BB₁=x，則B₁C=x+0.7，A₁C=AC-AA₁=$\sqrt{{2.5}^{2}-{0.7}^{2}}$-0.4=2，而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由B₁C²+A₁C²=A₁B${\;}_{1}^{2}$，得方程（x+0.7）²+2²=2.5²，解方程得x₁=0.8，x₂=-2.2（舍去），
∴點B將向外移動0.8米．
（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：
問題①在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？
問題②在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？
請你解答小聰提出的這兩個問題．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABC中，根據(jù)已知條件運用勾股定理可將AC的長求出，又知AA₁的長可得AC的長，在Rt△A₁B₁C中再次運用勾股定理可將B₁C求出，B₁C的長減去BC的長即為底部B外移的距離．
（2）①作法與（1）相同；
②設梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米，根據(jù)勾股定理可得（x+0.7）²+（2.4-x）²=2.5²，再解即可．

解答 解：（1）設點B將向外移動x米，即BB₁=x，
則B₁C=x+0.7，A₁C=AC-AA₁=$\sqrt{{2.5}^{2}-{0.7}^{2}}$-0.4=2，
而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由B₁C²+A₁C²=A₁B₁²得方程（x+0.7）²+2²=2.5²，
解方程得x₁=0.8，x₂=-2.2（舍去），
∴點B將向外移動0.8米．
故答案為：（x+0.7）²+2²=2.5²；0.8，-2.2（舍去），0.8；

（2）①不會是0.9米；
∵AA₁=0.9，
∴A₁C=2.4-0.9=1.5，
在Rt△A₁B₁C中，B₁C=$\sqrt{{2.5}^{2}-{1.5}^{2}}$=2米，
則BB₁=CB₁-CB=2-0.7=1.3米．
故梯子底部B外移1.3米．
②有可能．
設梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米，
則有（x+0.7）²+（2.4-x）²=2.5²，
解得：x₁=1.7或x₂=0（舍）．
所以當梯子頂端從A處下滑1.7米時，點B向外也移動1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等．

點評 本題主要考查了勾股定理的應用及一元二次方程的應用，根據(jù)題意得出關于x的一元二次方程是解答此題的關鍵．