Question

14．如圖，等邊△ABC中，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D是AB上任意一點(diǎn)，以CD為邊作等邊△CDE，連結(jié)BE．
（1）求證：BE⊥AB；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在AH的延長(zhǎng)線上時(shí)，試求$\frac{AD}{AH}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可得出AC=BC、DC=EC，根據(jù)角與角之間的關(guān)系可得出∠ECB=∠DCA，從而可證出△ACD≌△BCE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EBC=∠DAC，再由AH⊥BC可得出∠DAC=30°，進(jìn)而即可求出∠EBA=90°，即BE⊥AB；
（2）根據(jù)等邊三角形的對(duì)稱軸可得BE=CE，進(jìn)而可得出∠EBC=∠ECB=∠BCD=∠ACD=30°，即點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，也是重心，由此可求出$\frac{AD}{AH}$的值．

解答 （1）證明：∵△DCE與△ABC都是等邊三角形，如圖1，
∴∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°，∠DCB+∠BCE=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ECB=∠DCA．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠DAC．
又∵AH⊥BC，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠EBA=∠EBC+∠CBA=90°，即BE⊥AB．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在AH的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示．
由等邊三角形對(duì)稱性可得：BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=∠BCD=∠ACD=30°，
∴點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，也是重心，
∴$\frac{AD}{AH}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的重心，解題的關(guān)鍵是：（1）求出∠EBA=90°；（2）找出點(diǎn)D為等邊三角形的重心．